In questo lavoro Peano si pone questo problema: quali concetti originari sono necessari e sufficienti per le definizioni geometriche? Partendo dalle idee del matematico tedesco Pasch – il quale aveva trovato che dai concetti di punto, retta, piano e moto si possano definire gli altri concetti geometrici – trova che questi si possono definire avendo come concetti originari solo quelli di punto e segmento.Prende quindi in considerazione i risultati, all’epoca recenti, del matematico Pieri, che era arrivato di costruire le idee geometriche dalle sole idee primitive di punto e distanza fra due punti.
Quindi si propone di collegare il sistema di Pieri con il sistema dei vettori.
Il vettore, fondamentale per lo studio della fisica, è una entità – limitandoci ad un vettore sul piano – caratterizzata da una quantità o modulo, una direzione ed un verso (ad es. una valigia ha un peso, una direzione perpendicolare al suolo ed un verso dalla persona al suolo, dove essa esercita la sua forza dovuta alla gravità terrestre).
Ai due concetti primitivi di punto e vettore, Peano aggiunge quello di prodotto interno di vettori, che è una tipica operazione fra due vettori, importante anch’essa per lo studio della fisica.
Utilizzando solo questi concetti definisce le figure geometriche di retta e di piano.
Sempre utilizzando questi concetti definisce l’uguaglianza sia di due vettori, che dei valori assoluti o moduli di essi. (Con l’esempio fatto in precedenza il modulo sarebbe l’entità del peso della valigia).
Peano dà sempre due definizioni dei concetti che analizza. Una in notazioni simboliche e l’altra descrittiva. Con le notazioni simboliche il concetto è intellegibile anche ai non conoscitori della nostra lingua. Con la descrizione egli trasforma in lingua italiana quello che è già espresso in simboli, o viceversa.
Sinossi a cura di Giuseppe Piero Perduca
Dall’incipit del testo:
L’analisi delle idee fondamentali o primitive della Geometria, cioè di quelle che non si possono definire ma che dobbiamo ricavare dal mondo fisico, diede luogo a numerosi lavori, specialmente in questi ultimi tempi.
Il sig. M. Pasch, nelle sue Vorlesungen über Geometrie dell’a. 1882, espresse tutte le idee geometriche mediante quattro: punto, segmento, piano, moto.
Nel 1889, nell’opuscolo I principii di Geometria, io applicai la Logica matematica, allora eretta a sistema, per analizzare i fondamenti della Geometria. Eliminai dal gruppo delle idee primitive quella del piano; scomposi gli assiomi introdotti dal Pasch nei loro elementi. Risultò così che una gran parte della Geometria, cioè quella che si suol chiamare Geometria di posizione, si può sviluppare con due sole idee primitive, quelle di punto e di segmento. In un successivo articolo, comparso nella Rivista di Matematica, a. 1894, p. 51, espressi
le idee della Geometria metrica colle precedenti e con quella di moto.
Scarica gratis: La geometria basata sulle idee di punto e distanza di Giuseppe Peano.
